算法就是解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令。一些大厂经常会考察面试者算法能力，观察面试者编码的熟练程度、思考的速度和深度，以此衡量面试者的能力和潜力，所以算法重要性不言而喻。想进大厂，就必须拿下算法，而算法学习，就是要不断地练习。为了帮助大家提升算法能力，我将带大家每天做一道算法题！
今天的题目是寻找两个正序数组的中位数（Median of Two Sorted Arrays）。
题目
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class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
}
}
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题解
方法一：暴力
思路及算法
先合并，再计算中位数
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| public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int i = 0, j = 0, k = 0, m = nums1.length, n = nums2.length;
int[] nums = new int[m + n];
while (i < m || j < n) {
if (i < m && j < n && nums1[i] < nums2[j]) {
nums[k++] = nums1[i++];
} else if (i < m && j < n && nums1[i] >= nums2[j]) {
nums[k++] = nums2[j++];
} else if (i < m && j >= n) {
nums[k++] = nums1[i++];
} else if (i >= m) {
nums[k++] = nums2[j++];
}
}
if ((m + n) % 2 == 0) {
return (nums[(m + n) / 2] + nums[(m + n) / 2 - 1]) / 2.0;
} else {
return nums[(m + n) / 2];
}
}
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复杂度分析
- 时间复杂度是 O(m+n)
- 空间复杂度是 O(m+n)
方法二：二分查找
思路及算法
根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。
假设两个有序数组分别是 A 和 B。要找到第 k 个元素，我们可以比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1]，其中 / 表示整数除法。由于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 的前面分别有 A[0..k/2−2] 和 B[0..k/2−2]，即 k/2−1 个元素，对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 (k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。
因此我们可以归纳出三种情况：
- 如果 A[k/2−1]<B[k/2−1]，则比 A[k/2−1] 小的数最多只有 A 的前 k/2−1 个数和 B 的前 k/2−1 个数，即比 A[k/2−1] 小的数最多只有 k−2 个，因此 A[k/2−1] 不可能是第 k 个数，A[0] 到 A[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。
- 如果 A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1]。
- 如果 A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。
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| public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length, n = nums2.length;
int totalLength = m + n;
if (totalLength % 2 == 1) {
int midIndex = totalLength / 2;
return getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
} else {
int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
return (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0;
}
}
public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
int m = nums1.length, n = nums2.length;
int index1 = 0, index2 = 0;
while (true) {
if (index1 == m) {
return nums2[index2 + k - 1];
}
if (index2 == n) {
return nums1[index1 + k - 1];
}
if (k == 1) {
return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
}
int half = k / 2;
int newIndex1 = Math.min(index1 + half, m) - 1;
int newIndex2 = Math.min(index2 + half, n) - 1;
int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];
if (pivot1 <= pivot2) {
k -= (newIndex1 - index1 + 1);
index1 = newIndex1 + 1;
} else {
k -= (newIndex2 - index2 + 1);
index2 = newIndex2 + 1;
}
}
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复杂度分析
- 时间复杂度是 O(log(m+n))
- 空间复杂度是 O(1)
好了，今天的文章就到这里，如果觉得有所收获，请顺手点个在看或者转发吧，你们的支持是我最大的动力。