LeetCode 4. 寻找两个正序数组的中位数

算法就是解题方案的准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令。一些大厂经常会考察面试者算法能力,观察面试者编码的熟练程度、思考的速度和深度,以此衡量面试者的能力和潜力,所以算法重要性不言而喻。想进大厂,就必须拿下算法,而算法学习,就是要不断地练习。为了帮助大家提升算法能力,我将带大家每天做一道算法题!

今天的题目是寻找两个正序数组的中位数(Median of Two Sorted Arrays)

题目

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/**
* 4. 寻找两个正序数组的中位数
* 4. Median of Two Sorted Arrays
* 标签:数组、二分查找、分治
* 难度:困难
*
* 给定两个大小分别为 m 和 n 的正序(从小到大)数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数 。
* 算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。
*
* 示例 1:
* 输入:nums1 = [1,3], nums2 = [2]
* 输出:2.00000
* 解释:合并数组 = [1,2,3] ,中位数 2
*
* 示例 2:
* 输入:nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
* 输出:2.50000
* 解释:合并数组 = [1,2,3,4] ,中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
*
* 提示:
* nums1.length == m
* nums2.length == n
* 0 <= m <= 1000
* 0 <= n <= 1000
* 1 <= m + n <= 2000
* -10^6 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^6
*
* @author yonghongwang#163.com
* @link <a href="https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/"></a>
* @link <a href="https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/"></a>
* @since 2022/02/28
**/

题解

方法一:暴力

思路及算法

先合并,再计算中位数

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public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int i = 0, j = 0, k = 0, m = nums1.length, n = nums2.length;
int[] nums = new int[m + n];
while (i < m || j < n) {
if (i < m && j < n && nums1[i] < nums2[j]) {
nums[k++] = nums1[i++];
} else if (i < m && j < n && nums1[i] >= nums2[j]) {
nums[k++] = nums2[j++];
} else if (i < m && j >= n) {
nums[k++] = nums1[i++];
} else if (i >= m) {
nums[k++] = nums2[j++];
}
}
if ((m + n) % 2 == 0) {
return (nums[(m + n) / 2] + nums[(m + n) / 2 - 1]) / 2.0;
} else {
return nums[(m + n) / 2];
}
}

复杂度分析

  • 时间复杂度是 O(m+n)
  • 空间复杂度是 O(m+n)

方法二:二分查找

思路及算法

根据中位数的定义,当 m+n 是奇数时,中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素,当 m+n 是偶数时,中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此,这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数,其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。

假设两个有序数组分别是 A 和 B。要找到第 k 个元素,我们可以比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1],其中 / 表示整数除法。由于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 的前面分别有 A[0..k/2−2] 和 B[0..k/2−2],即 k/2−1 个元素,对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值,最多只会有 (k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小,那么它就不能是第 k 小的数了。

因此我们可以归纳出三种情况:

  • 如果 A[k/2−1]<B[k/2−1],则比 A[k/2−1] 小的数最多只有 A 的前 k/2−1 个数和 B 的前 k/2−1 个数,即比 A[k/2−1] 小的数最多只有 k−2 个,因此 A[k/2−1] 不可能是第 k 个数,A[0] 到 A[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数,可以全部排除。
  • 如果 A[k/2−1]>B[k/2−1],则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1]。
  • 如果 A[k/2−1]=B[k/2−1],则可以归入第一种情况处理。
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public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length, n = nums2.length;
int totalLength = m + n;
if (totalLength % 2 == 1) {
int midIndex = totalLength / 2;
return getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
} else {
int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
return (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0;
}
}

public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
/* 主要思路:要找到第 k (k>1) 小的元素,那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
* 这里的 "/" 表示整除
* nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
* nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
* 取 pivot = min(pivot1, pivot2),两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
* 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
* 如果 pivot = pivot1,那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除",剩下的作为新的 nums1 数组
* 如果 pivot = pivot2,那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除",剩下的作为新的 nums2 数组
* 由于我们 "删除" 了一些元素(这些元素都比第 k 小的元素要小),因此需要修改 k 的值,减去删除的数的个数
*/
int m = nums1.length, n = nums2.length;
int index1 = 0, index2 = 0;

while (true) {
// 边界情况
if (index1 == m) {
return nums2[index2 + k - 1];
}
if (index2 == n) {
return nums1[index1 + k - 1];
}
if (k == 1) {
return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
}

// 正常情况
int half = k / 2;
int newIndex1 = Math.min(index1 + half, m) - 1;
int newIndex2 = Math.min(index2 + half, n) - 1;
int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];
if (pivot1 <= pivot2) {
k -= (newIndex1 - index1 + 1);
index1 = newIndex1 + 1;
} else {
k -= (newIndex2 - index2 + 1);
index2 = newIndex2 + 1;
}
}

复杂度分析

  • 时间复杂度是 O(log(m+n))
  • 空间复杂度是 O(1)

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